«Прежде всего, нужно отбросить все так называемые "физические представления",
ибо они — не что иное, как термин для обозначения устаревших предрассудков
предшествующих поколений». (Поль А. Морис Дирак)
Многие авторы обращаются к метафоре Компьютерной Вселенной. Смотрите, например, книги:
1. Seth Lloyd Programming the Universe.
2. Лем С. Сумма технологий.
3. Penrose R. The Emperors New Mind:
4. David Deutsch The Fabric of Reality
5. Stephen Wolfram. A New Kind of Science
Компьютерные модели это не дань моде, а выбор простейшей аксиоматики на основе которой по всей видимости, может быть построена почти вся или, возможно даже - вся физика. Несмотря на свою привлекательность, обусловленную простотой и наличием интуитивных параллелей с физическим миром, это направление пока не дало ни одной адекватной, достаточно хорошо формализованной теории и остается маргинальным. Очевидно, что здесь не достает некоего ключевого элемента, новой идеи, которая дала бы толчок для развития этого подхода. На мой взгляд, тормозом является наша не готовность ослабить тиски научного метода, предложенного Декартом и дистанцирующего исследователя от предмета его исследования.
Ключевой идеей, отсутствующей у других авторов компьютерных миров, является - принцип физической неполноты мира.
Будучи добавлен к компьютерной модели Вселенной, принцип физической неполноты мира может открыть новую перспективу для решения ряда трудных проблем физики, дать новый взгляд на происхождение физических законов, общий принцип для построения новой теории материи, способной с единых позиций связать относительность Эйнштейна с квантовой теорией Бора и статистикой Гиббса.
Физическая неполнота по происхождению аналогична неполноте замкнутых аксиоматических систем, явившихся предметом пристального исследования математиков начала 20-го века. Австрийским логиком Куртом Геделем была сформулирована теорема из которой следует дополнительность таких понятий, как полнота и непротиворечивость.
Наблюдатель (физик) всегда является частью мира, который он исследует. ��менно это определяет характер открываемых нами законов. Чтобы в этом убедиться нужно попытаться построить физику "компьютерного" мира изнутри. Но тогда наблюдатель сам является объектом своего исследования!. Может ли субъект иметь знание о собственном знании? Ведь знание субъекта это тоже неотъемлемая часть этого мира. Самоприменимость понятий как известно приводит к парадоксам, подобным парадоксу � ассела или того парикмахера, котрый никак не поймет бреет ли он сам себя, если бреет только тех, кто не бреется сам. Допустим я знаю как я поступлю в той или иной ситуации в будущем. Но зная это я уже могу поступить иначе...
Поэтому, для того чтобы оставаться в конструктивном русле, мы должны заплатить неполнотой за непротиворечивость.
В основу построения берется конечное множество состояний некоего абстрактного субъекта Subj и рассматриваются отображения этого множества в себя или свою часть, которую будем называть объектом ObjÎSubj. Отображение Ψ:Subj-->Subj задает циклическую группу или гармоническую функцию (смотрите обоснование справа).
Мы постулируем физическую неполноту - принципиальную невозможность знания субъектом всех состояний мира в каждый момент времени. Формально, неполноту выразим, представив Мировую функцию в виде произведения функций субъекта и объекта:
Где ΨSubj и ΨObj - Функции субъекта и объекта, определенные на некотором абстрактном множестве состояний субъекта Subj. Мировая функция при этом определена на множестве пар {Subj, Obj}. � ассмотрим множество ξÎZ состояний мира. Пусть каждое его состояние выражается словом длиной log(N) в двухбуквенном алфавите {0,1}. Полное число состояний N=2^n. Мировая функция задает нигде не самопересекающуюся (дискретно-эргодическую) траекторию:
в пространстве состояний системы. Топологически эта траектория гомеоморфна петле на которой задан параметризуемый класс автоморфизмов ξ-->kξ. kÎZ. В непрерывном приближении генератором автоморфизмов является комплексная функция:
Если множество мировых состояний дискретно, то это означает существование циклической группы Т, такой, что: TN(A)=A, где Т - генератор группы. Такая структура, представляет собой конечный связный ориентированный граф, содержащий Гамильтонов цикл.
Если бы нам удалось посмотреть на нашу Вселенную со стороны (объективно), то, вероятно, мы заметили бы, что она подчиняется детерминированной динамике Ньютона. Но нам не доступна такая "смотровая площадка", ибо мы сами являемся частью Вселенной – ее субъектом. Ниже мы покажем, что вытекающие отсюда ограничения (неполнота) и является причиной обусловливающей квантовость физической реальности. Мы покажем это на примере изучения квантовой суперпозиции – наиболее характерного для квантовой физики феномена.
Красивые математические идеи, как правило, находят отражение в физической реальности.
Как писал Дирак, начинать следует с красивой математической теории. "Если она действительно красива, то она обязательно окажется прекрасной моделью важных физических явлений".
Метатеоретические конструкции формальной логики несомненно следует отнести к красивейшим математическим идеям. Поэтому, следует ожидать, что перенос их на физический мир может оказаться весьма плодотворным для развития физики.
Парадокс Лжеца
Предложение такого рода принципиально не может быть ни доказано, ни опровергнуто в пределах той формальной системы, где оно действует.
Строгая формулировка парадокса � ассела
Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие.
Монадология Арнольда-Лейбница
Монадой Арнольд называет отображение множества в себя. На рисунке, заимствованном из лекции Арнольда показано одно из возможных отображений множества состояний 3-х битного мира. Оператор отображения здесь вычисляет разности по модулю 2 соседних битов в слове состояния.
��меет место почти очевидная теорема: «В каждой компоненте связности монады обязательно имеется только один цикл». Доказательство крайне просто:
Множество точек конечное, поэтому, переходя от состояния к состоянию, мы обязательно вернемся в точку, где уже были раньше. Значит это цикл.
Единственность же цикла следует из условия однозначности отображения. Каждая компонента связности изолирована от другой и образует мир ни как не связанный с другими мирами - компонентами связности. Состояния Т- деревьев являются входными портами в мир. Такие миры имеют только входы, но не имеют выходов. Мы будем рассматривать стационарные миры, образуемые циклами связных компонент монад.
"Всегда и повсюду истинной эмблемой природы является круг, потому что он - схема возвратного движения: а оно, действительно, - самая общая форма в природе, которой последняя пользуется везде, начиная от движения небесных созвездий и кончая смертью и возникновением органических существ, и которая одна, в беспрерывном потоке времени и его содержимого, делает возможным некоторое устойчивое бытие, т.е. природу".
(Шопенгауэр)
Постулаты субъективной физики
Принцип 1: Множество состояний сознания субъекта W конечно.
Принцип 2: Мир есть – конечное множество фундаментальных состояний W, образованное отображением множества состояний сознания субъекта в себя.
Принцип 3 Субъективное нарушение симметрии порождает причинность и физическое время.
Следствие 1: Если А является причиной В, а В является причиной С, то А является причиной С
Следствие 2: Каждое состояние является причиной самого себя. Доказательство: Если бы имело место обратное, то это приводило бы к существованию счетно-бесконечной цепи причинно – следственных связей, что противоречило бы принципу 1..
Принцип 4: Мировая функция факторизуется следующим образом:
Определение 1 : Субъект или субъективный наблюдатель это - подмножество мировых состояний Subj Î W
Определение 2 : Динамика Мира задается объективной эволюцией x x; T(x); T2(x)…, где Т – оператор объективной эволюции.
Определение 3 :Субъективное нарушение симметрии - суть упорядочивание субъект-объектной пары
{Subj, Obj}. Такое упорядочивание порождает каузальные связи внутри множества таких пар.
Определение 4 : Физическая реальность - множество всевозможных математических структур, построенных над множеством состояний субъекта Subj.
Определение 5 : Физическая неполнота - Основное свойство физической реальности, заключающееся в фундаментальной недоступности для субъекта части мировых состояний. Эти состояния являются являются для него - скрытыми.
Физическая неполнота обосновывает новый тип нелокальных теорий скрытых параметров.
(3-х битная система)
Наблюдателя, являющегося частью системы назовем субъективным наблюдателем (SO - Subject Observer) в том смысле, что он является субъектом этой системы. Аналогично, объективным наблюдателем (OO - Object Observer) назовем гипотетического наблюдателя, способного воспринимать каждое состояние системы. Предположим далее, что m из n бит слова состояния системы необходимы для задания состояния субъекта SO. Такую модель мы будем называть (n,m)- моделью. � ассмотрим в качестве примера (3,1)- модель (рис.1). Такая модель описыввает систему наблюдатель/объект с 2^3=8 фундаментальными состояниями. 1 бит из трех зарезервирован под состояния SO (колонка Subj). Оставшиеся 2 бита (колонка Obj) описывают скрытые для наблюдателя состояния. Очевидно, что SO, которому мы выделили всего 1 бит не в состоянии различить все 8 состояний системы. Такое положение вещей мы называем физической неполнотой.
В (3,1)- модели для SO доступны только 2 состояния, которые он мог бы обозначить, например следующим образом: |0>, |1> . Для SO эти состояния элементарны и образуют базис субъективной физической реальности - аналог Гильбертова пространства КМ.. Для OO за этими символами стоят классы неразличимых для SO фундаментальных состояний мощностью Q=2n/2m (В случае (3,1) - модели Q=4).
Для строгого описания конечного мира следует воспользоваться алгеброй над конечными полями. Этот математический аппарат достаточно хорошо разработан и является разделом современной теории чисел. Эварист Галуа ввел в рассмотрение поля GF(pn) с конечным числом элементов, где p- простое а n-натуральное. Это поле классов эквивалентности полиномов. Наш пример 3-х битного мира описывается полем GF(23).
Над полем Галуа всегда может быть построена проективная геометрия. �� это очень важно. Дело в том, что любая точка проективного пространства является классом эквивалентности - лучом в пространстве однородных координат. В случае геометрий, построенных над полями Галуа эти классы, очевидно, конечны и в нашей интерпретации образуют физические квантовые состояния. Нельзя не заметить параллель - Квантовые состояния описываются волновыми функциями (ВФ) с точностью до произвольного фазового множителя. При этом множество неразличимых фаз образует класс эквивалентности или группу U(1) физически неразличимых преобразований вектора состояния системы. Эти классы образуют лучи в Гильбертовом пространстве.
� ис.1
Все 8 состояний этого простейшего "мира" выражены двоичными словами. Сплошными прямоугольниками выделены чистые базовые состояния. Пунктиром выделено состояние суперпозиции.
� ис.2
Граф состояний 3-х битного мира. Красные кружки в вершинах куба образуют класс физического состояния |x2>, а синие- класс физического состояния |x1>. Попробуйте обойти все вершины наикратчайшим путем, соблюдая единственное условие - не заходить в одну и ту же вершину дважды. Если вам удастся решить эту головоломку, то вы можете обнаружить, что получившаяся траектория совпадает с кодом Грея (код в котором при каждой итерации меняется всего один бит в слове). На этой основе легко сформулировать дискретный аналог принципа наименьшего действия.
ψ(τ,x).
Вектор состояния суперпозиции представленной на рис.1 с точностью до нормирующего множителя 1/√4 представляется конструкцией:
Скалярные произведения вычисляются, как обычно (умножение строки на столбец), только вместо комплексного сопряжения берутся обратные на поле Галуа элементы.
"Зашнуровка" скрытых ξ-состояний, относящихся к разным базисным квантовым состояниям, фазовой траекторией приводит к возникновению квантовой суперпозиции. Вероятность обнаружить систему в физическом состоянии Xi пропорциональна числу скрытых состояний, относимых субъектом к Xi "нанизанных" на траекторию системы. Движение по такой "фазовой " траектории не имеет обычных релятивистских ограничений на скорость. Этим объясняется нелокальность квантовой механики.
Вектор квантового состояния в фундаментальном пространстве скрытых состояний {ξ}.
Модель связанных шестеренок, рассмотренная здесь полностью аналогична рассмотренной выше битовой модели.
Читать:
1. Анатомия квантовой суперпозиции
2. Механика квантовой механики
3. Геометрия субъективной вселенной
4. Что описывают волновые уравнения
Уравнения КМ описывают движение пучков ξ-траекторий, которые мы отождествляем с ψ-полями. Плотность траекторий в единице объема фазового пространства, в текущий момент времени определяет вероятность обнаружения системы в этом объеме. Достаточно изъять частицу из системы (Это происходит в процессе измерения) и поле, образуемое конфигурацией петель мгновенно исчезнет из всех точек пространства (нелокально!), ибо траектория формируется частицей за скрытый промежуток времени. Эта ситуация моделирует процесс коллапса квантового состояния.
При измерении вероятность равна квадрату модуля собственной функции оператора наблюдаемой величины. В квантовой механике это постулат. В рассматриваемой модели это тривиальное следствие ее структуры. Найдем вероятность получить при измерении |X2>, если система находится в состоянии суперпозиции |X12>. Для этого найдем пересечение множества Ф12 не равных нулю элементов для вектора |X12> и множества Ф2 базисного состояния |X2>. Кардинальное число этого пересечения будет пропорционально искомой вероятности:
Формально, мы должны вычислить скалярное произведение:
� ис.5
Гильбертово пространство состояний возникает в результате субъективной перенормировки фундаментального бинарного пространства состояний мира.
Переход от объективного к субъективному наблюдателю должен сопровождаться редукцией размерности пространства состояний в Q=2n/2m раз, где Q - степень субъективного вырождения. Новый редуцированный базис есть ничто иное, как базис Гильбертова пространства физических состояний.
В рассматриваемом примере мы получили двухмерное Гильбертово пространство {|x1>,|x2>} в результате размерного скейлинга 8-мерного пространства фундаментальных состояний {ξ}.
Запишем для рассмотренного выше случая двумерного Гильбертова пространства оператор наблюдаемой в представлении его собственных функций:
Операторы, обычно применяемые в КМ можно назвать операторами субъективного наблюдателя. В представлении объективного наблюдателя элементы этой матрицы сами являются матрицами:
Смысл вычисления среднего здесь очевиден:
p1 и p2 вероятности.
Операторы эволюции
Простейший унитарный оператор, действующий на на поле
GF(23):
Этот оператор осуществляет циклический сдвиг компонент вектора состояния |x>. � екуррентное уравнение эволюции имеет вид:
� ассмотрим операторы:
Оператор Uπ используется в качестве логического гейта NOT в квантовых вычислениях. Соответственно оператор Uπ/2 определяет операцию
Примеры действия унитарных операторов на двухуровневую систему.
� ис.6
Действие оператора Uπ/2 = SQRT(NOT) на систему, находящуюся в базовом состоянии |x2> генерирует суперпозицию:
� ис.7
Действие оператора Uπ=NOT на систему, находящуюся в базовом состоянии |x2> перебрасывает ее в состояние |x1>
��звестно, что для сохранения инвариантности относительно операции обращения времени, в квантовой механике необходимо одновременно осуществить комплексное сопряжение:
Этот, загадочный в квантовой механике, факт на расширенном поле Галуа становится тривиален.
В качестве простого примера построим комплексное расширение поля GF(23). Если рассматривать повороты по часовой стрелке, то на этом поле имеем:
а значит числа 3,5,6 являются квадратичными невычетами. В случае поля Галуа комплексное расширение можно ввести вполне осмысленно. Для этого достаточно заметить, что при счете против часовой стрелки ситуация меняется на обратную – числа 1,2,4 становятся квадратичными невычетами, а для чисел 3,5,6 находятся квадраты.
Таким образом изменение знака времени, изменяющее направление движения на поле Галуа эквивалентно комплексному сопряжению.
Как мы показали выше, квантовая механика может быть построена и без комплексных чисел. � ассмотрим систему имеющую конечное множество M локально-связанных состояний.
Комплексность отражает фундаментальное свойство природы - цикличность фазовой траектории на объективном уровне описания.
Комплексно сопряженные пространства Галуа. Числа 3,5,6 в пространстве R не являются квадратами ни каких чисел в R. Но они являются квадратами чисел в поле L в котором определено другое направление счета. Например, (3i)2=5
Читать дальше
Обоснование специальной теории относительности
Обоснование термодинамики
